Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A在y軸正半軸上，點B的橫、縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²+5x﹣24=0的兩個實數(shù)根，點D是AB的中點．

（1）求點B坐標(biāo)；
（2）求直線OD的函數(shù)表達式；
（3）點P是直線OD上的一個動點，當(dāng)以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

(1)點B坐標(biāo)為（﹣8，3）；（2）；（3）P點的坐標(biāo)為標(biāo)為、、、.

試題分析：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：解方程，中點坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運用，綜合性較強．（1）解方程x2+5x-24=0得到它的兩個實數(shù)根，根據(jù)點B所在象限進一步得到點B坐標(biāo)（﹣8，3）；（2）由點D是AB的中點，結(jié)合點B的坐標(biāo)可得點D坐標(biāo)（-4,3），再根據(jù)待定系數(shù)法得到正比例函數(shù)直線OD的函數(shù)表達式為：；（3）由點P在直線OD上，可設(shè)P點的坐標(biāo)為，當(dāng)以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，應(yīng)分三種情況討論：即①PA=PD；②AP=AD；③DP=DA；分別就三種情況求出P點的坐標(biāo)．
試題解析：
解：（1）解方程x²+5x﹣24=0，
得x₁=﹣8，x₂=3，
∴點B坐標(biāo)為（﹣8，3）；
∵點D是AB的中點，
∴D（﹣4，3）；
設(shè)直線OD的解析式為，
∴3=﹣4k，解得
∴直線OD的函數(shù)表達式為
（3）由A（0，3），D（﹣4，3）可知：AD=4．
設(shè)P點的坐標(biāo)為，當(dāng)以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況：
①如果PA=PD，那么點P在AD的垂直平分線上，
∴x=﹣2，
∴P點的坐標(biāo)為.
②如果AP=AD，那么
解得：（與D點重合舍去），
當(dāng)時，
∴P點的坐標(biāo)為
③如果DP=DA，那么
解得：，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
∴P點的坐標(biāo)為，.
綜上所述，P點的坐標(biāo)為標(biāo)為、、、.