Question

如圖，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，1），雙曲線y=

4

x

（x＞0），
（1）將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段A₁B₁，寫出A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）將線段A₁B₁平移，對應(yīng)點(diǎn)A₂，B₂落在雙曲線上，求出點(diǎn)A₂，B₂的坐標(biāo)；
（3）將雙曲線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后的雙曲線是否能同時(shí)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)？若能，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意旋轉(zhuǎn)后很容易得；
（2）設(shè)A₂，根據(jù)平移的性質(zhì)得B₂，求得a值，從而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，求得點(diǎn)D．用同樣方法求出直線A₂M的解析式，求得點(diǎn)M．
（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點(diǎn)將AB旋轉(zhuǎn)90度與A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂為一邊，M為中心，構(gòu)造正方形，易知點(diǎn)M．

解答：解：（1）（0，2）（1，0）；

（2）∵A₂在雙曲線y=

4

x

（x＞0）上，
設(shè)A₂（a，

4

a

），且a＞0，
根據(jù)平移的性質(zhì)得B₂（a+1，

4

a

-2），
∵B₂在雙曲線y=

4

x

（x＞0）上，
∴(a+1)(

4

a

-2)=4，
解得a₁=1，a₂=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根，
∵a＞0，
∴a=1，
∴A₂（1，4）B₂（2，2），

（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點(diǎn)將AB旋轉(zhuǎn)90度與A₂B₂重合，（1分
又∵若將雙曲線繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，使之同時(shí)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，等同于將AB繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度，使A、B兩點(diǎn)同時(shí)落在雙曲線上，
①若將AB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)順時(shí)針90度，
A與A₂，B與B₂對應(yīng)，如圖1
連接BB₂接，點(diǎn)M在BB₂的對稱軸上，
∴BM=MB₂，
∵旋轉(zhuǎn)角∠BMB₂=90°，
∴△BMB₂是等腰直角三角形，
以BB₂為一邊，M為中心，構(gòu)造正方形，易知M（

3

2

，

1

2

）．
②將AB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針90度，
∵對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，
∴作AB₂，BA₂若的對稱軸，交于點(diǎn)M，
用相似求出點(diǎn)D（

1

2

，0），直線BD的解析式y(tǒng)=-2x+1，
用同樣方法求出直線A₂M的解析式y=-

1

2

x+

5

2

，
∴M（-1，3），
綜上M（-1，3）或（

3

2

，

1

2

）；　�。▋煞N情況，分別用兩種方法解僅供參考）；

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，（1）通過旋轉(zhuǎn)來確定坐標(biāo)；（2）設(shè)A₂，根據(jù)平移的性質(zhì)得B₂，求得a值，從而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，求得點(diǎn)D．進(jìn)而求得點(diǎn)M．（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點(diǎn)將AB旋轉(zhuǎn)90度與A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂為一邊，M為中心，構(gòu)造正方形，易知點(diǎn)M．