Question

如圖，有一個(gè)圓O和兩個(gè)正六邊形T₁，T₂． T₁的6個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，T₂的6條邊都和圓O相切（我們稱T₁，T₂分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）．
（1）設(shè)T₁，T₂的邊長(zhǎng)分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六邊形T₁，T₂的面積比S₁：S₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的半徑等于它的邊長(zhǎng)，則r：a=1：1；在由圓的半徑和正六邊形的半邊以及正六邊形的半徑組成的直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得其比值；
（2）根據(jù)相似多邊形的面積比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再進(jìn)一步求得其面積比．

解答：解：（1）連接圓心O和T₁的6個(gè)頂點(diǎn)可得6個(gè)全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
連接圓心O和T₂相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，得以圓O半徑為高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=

3

：2；

（2）T₁：T₂的邊長(zhǎng)比是

3

：2，所以S₁：S₂=（a：b）²=3：4．

點(diǎn)評(píng)：計(jì)算正多邊形中的有關(guān)量的時(shí)候，可以構(gòu)造到由正多邊形的半徑、邊心距、半邊組成的直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．注意：相似多邊形的面積比即是其相似比的平方．