Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，m）在邊AB上，反比例函數(shù)y= （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，且cos∠BOA= ．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和m的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)G、H分別是y軸、x軸上的點(diǎn)，當(dāng)△OGH≌△FGH時(shí)，求線段OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵點(diǎn)E（4，m）在邊AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，

∵cos∠BOA= ，

∴OB=5，

∴AB= =3

（2）

解：由（1），可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（2，1.5）．

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù) （k≠0）的圖象上，

∴k=3，

∴反比例函數(shù)解析式為 ，

又∵點(diǎn)E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，

∴

（3）

解：設(shè)點(diǎn)F（a，3），

∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，

∴a=1，

∴CF=1，

設(shè)OG=x，

∵△OGH≌△FGH，

∴OG=FG=x，CG=3﹣x，

在Rt△CGF中，

由勾股定理可得GF2=CF2+CG2，

即x2=（3﹣x）2+12，

解得x= ，

∴OG=

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)可求得OA，由三角函數(shù)定義可求得OB，則可求得AB的長(zhǎng)；（2）由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，可求得其解析式，把E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求得m的值；（3）由反比例函數(shù)解析式可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得CF的長(zhǎng)，設(shè)OG=x，利用三角形全等的性質(zhì)可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等即可以解答此題．