【題目】如圖,AB、AC分別是⊙O的直徑和弦,點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn),弦DE⊥AB分別交⊙O于點(diǎn)D、E,交AB于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)F.P是ED延長線上一點(diǎn),且PC=PF.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若AD2=DEDF,求證:CF=EF
(3)在(2)的條件下,若OH=1,AH=2,求線段PC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)4.
【解析】
試題解析:(1)連接OC,證明∠OCP=90°即可.
(2)乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式,通過證明三角形相似得出.
(3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過證明△OGA≌△OHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的長.
試題解析:(1)連接OC.
∵PC=PF,OA=OC,
∴∠PCA=∠PFC,∠OCA=∠OAC,
∵∠PFC=∠AFH,DE⊥AB,
∴∠AHF=90°,
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°,
∴PC是⊙O的切線.
(2)點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時,才能使AD2=DEDF,理由如下:
連接AE.
∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置,
∴∠DAF=∠DEA,
∵∠ADE=∠ADE,
∴△DAF∽△DEA,
∴AD:ED=FD:AD,
∴AD2=DEDF.
(3)連接OD交AC于G.
∵OH=1,AH=2,
∴OA=3,即可得OD=3,
∴DH=
∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置,
∴AC⊥DO,
∴∠OGA=∠OHD=90°,
在△OGA和△OHD中,
∴△OGA≌△OHD(AAS),
∴AG=DH,
∴AC=4.
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