如圖1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1點D為AC上一動點,連接BD,以BD為邊作等邊△BDE,EA的延長線交BC的延長線于F,設CD=n,
(1)當n=1時,則AF=______;
(2)當0<n<1時,如圖2,在BA上截取BH=AD,連接EH,求證:△AEH為等邊三角形.
(1)∵△BDE是等邊三角形,
∴∠EDB=60°,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°,
∴FAC=180°-60°-60°=60°,
∴∠F=180°-90°-60°=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACF=180°-90°,
∴AF=2AC=2×1=2;

(2)證明:∵△BDE是等邊三角形,
∴BE=BD,∠EDB=∠EBD=60°,
在△BCD中,∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C,
即∠ADE+60°=∠CBD+90°,
∴∠ADE=30°+∠CBD,
∵∠HBE+∠ABD=60°,∠CBD+∠ABD=30°,
∴∠HBE=30°+∠CBD,
∴∠ADE=∠HBE,
在△ADE與△HBE中,
BH=AD
∠ADE=∠HBE
BE=BD
,
∴△ADE≌△HBE(SAS),
∴AE=HE,∠AED=∠HEB,
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB,
即∠AEH=∠BED=60°,
∴△AEH為等邊三角形.
練習冊系列答案
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