Question

【題目】如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB邊的中點(diǎn)，F是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E、F的位置在何處時(shí)，才能使的周長(zhǎng)最��？簡(jiǎn)要說(shuō)明作法．

Answer 1

【答案】點(diǎn)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最�。�

【解析】

分別作點(diǎn)D關(guān)于BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)D1、D2，交AC、BC于M、N，連接，分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，D1D2是△DEF的最小值，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=∠A=60°，可得∠ADM=∠BDN=30°，即可得∠D1DD2=120°，利用ASA可證明△ADM≌△BDN，可得DD2=DD1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠D1=∠D2=30°，即可證明∠D1=∠ADM，利用ASA可證明△ADM≌△ED1M，可得AM=EM，可證明AD=AE，即可證明點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，同理可得點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，可得答案．

如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D1，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，交AC、BC于M、N，連接，分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，

∴DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，

∴DE+DF+EF=D1E+EF+D2F=D1D2，

∴D1D2即是△DEF的最小值，則點(diǎn)E、F即為所求，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠ADM=∠BDN=90°-60°=30°，

∴∠D1DD2=180°-30°-30°=120°，

∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，

∴AD=BD，

在△BDN和△ADM中，，

∴△ADM≌△BDN，

∴DN=DM，

∴DD2=DD1，

∴∠D1=∠D2=30°，

∴∠D1=∠ADM，

在△ADM和△ED1M中，，

∴△ADM≌△ED1M，

∴AM=EM，

∵∠ADM=30°，DM⊥AC，

∴AM=AD，

∴AE=AD，

∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，

同理可得：點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最�。�