Question

已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分．在圖上畫出所有線段PC，使分割得到的三角形與Rt△OAB相似，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：根據(jù)平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
又當(dāng)PC⊥OB時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)度，再求出AC的長(zhǎng)度，從而得到此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，PC∥AB時(shí)，△OCP∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
PC∥OA時(shí)，△PCB∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4），
PC⊥OB時(shí)，△CPB∽△OAB，根據(jù)勾股定理得，OB=

62+82

=10，
∵P（3，4）為OB的中點(diǎn)，
∴PB=

1

2

OB=5，
∴

BC

OB

=

PB

AB

，
即

BC

10

=

5

8

，
解得BC=

25

4

，
AC=AB-BC=8-

25

4

=

7

4

，
此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，

7

4

），
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），（6，4），（6，

7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用相似變換作圖，相似三角形的判定，需要特別注意“PC⊥OB”的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò)．