Question

操作探究：
數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問題》時，出示如圖1所示的長方形紙條ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在紙條上任意畫一條截線段MN，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點K，得到△MNK．如圖2所示：

探究：
（1）若∠1=70°，∠MKN=

40

°；
（2）改變折痕MN位置，△MNK始終是

等腰

 三角形，請說明理由；
應(yīng)用：
（3）愛動腦筋的小明在研究△MNK的面積時，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個不變的值．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研究出△KMN的面積最小值為

1

2

，此時∠1的大小可以為

45°或135

°
（4）小明繼續(xù)動手操作，發(fā)現(xiàn)了△MNK面積的最大值．請你求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM，∠KMN的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線平行內(nèi)錯角相等得出KM=KN；
（3）利用當△KMN的面積最小值為

1

2

時，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°；
（4）分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．
故答案為：40；

（2）等腰，
理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND，
∵將紙片沿MN折疊，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，
∴KM=KN；
故答案為：等腰；

（3）如圖2，當△KMN的面積最小值為

1

2

時，KN=BC=1，故KN⊥B′M，
∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，
∴∠1=∠NMB=45°，同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°，
故答案為：45°或135°（只要寫出一個即可）；   

（4）分兩種情況：
情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合．
MK=MB=x，則AM=5-x．
由勾股定理得1²+（5-x）²=x²，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S_△MNK=S_△MND=

1

2

×1×2.6=1.3．
情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC．
MK=AK=CK=x，則DK=5-x．
同理可得MK=NK=2.6．
∵MD=1，
∴S_△MNK=

1

2

×1×2.6=1.3．
△MNK的面積最大值為1.3．

點評：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計算，注意分類思想的運用，綜合性較強，有一點的難度．