【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E,點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn),連接AF、BF
(1)求AE和BE的長(zhǎng);
(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移,設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長(zhǎng)度).當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí),直接寫出相應(yīng)的m的值;
(3)如圖②,將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P,與直線BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn),使△DPQ為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)DQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)4,3;(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí),;當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí),;
(3)存在,或或或..
【解析】
(1)利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解;
(2)依題意畫出圖形,如答圖2所示.利用平移性質(zhì),確定圖形中的等腰三角形,分別求出m的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ有4種情形,如答圖3所示,對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算.
解:(1)在Rt△ABD中,AB=5,AD=,
由勾股定理得:BD===.
∵=BDAE=ABAD,
∴AE==4.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
由勾股定理得:BE=3;
(2)設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′,如答圖2所示:
由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知,∠1=∠2.
由平移性質(zhì)可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時(shí),
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時(shí),
∵AB∥A′B′,
∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
又易知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=,即m=;
(3)存在.理由如下:
在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如答圖3﹣1所示,點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線上,且PD=DQ,易知∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ==.
∴DQ=BQ﹣BD=;
②如答圖3﹣2所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=DQ,易知∠2=∠P,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,則此時(shí)點(diǎn)A′落在BC邊上.
∵∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:,
即,
解得:BQ=,
∴DQ=BD﹣BQ==;
③如答圖3﹣3所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PD=DQ,易知∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
∴∠4=90°﹣∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠4=90°﹣∠1.
∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1,
∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1,
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ==,
∴DQ=BD﹣BQ=;
④如答圖3﹣4所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=PD,易知∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=.
綜上所述,存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q,使△DPQ為等腰三角形;
DQ的長(zhǎng)度分別為或或或.
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【題目】如圖,函數(shù)的圖象分別與軸,軸交于點(diǎn),,的平分線與軸交于點(diǎn),則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.2
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC為矩形,OA在x軸正半軸上,OC在y軸正半軸上,且A(10,0)、C(0,8)
(1)如圖1,在矩形OABC的邊AB上取一點(diǎn)E,連接OE,將△AOE沿OE折疊,使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的F處,求AE的長(zhǎng);
(2)將矩形OABC的AB邊沿x軸負(fù)方向平移至MN(其它邊保持不變),M、N分別在邊OA、CB上且滿足CN=OM=OC=MN.如圖2,P、Q分別為OM、MN上一點(diǎn).若∠PCQ=45°,求證:PQ=OP+NQ;
(3)如圖3,S、G、R、H分別為OC、OM、MN、NC上一點(diǎn),SR、HG交于點(diǎn)D.若∠SDG=135°,HG=4,求RS的長(zhǎng).
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【題目】“低碳環(huán)保,你我同行”.兩年來,揚(yáng)州市區(qū)的公共自行車給市民出行帶來切實(shí)方便.電視臺(tái)記者在某區(qū)街頭隨機(jī)選取了市民進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查的問題是“您大概多久使用一次公共自行車?”,將本次調(diào)查結(jié)果歸為四種情況:A.每天都用;B.經(jīng)常使用;C.偶爾使用;D.從未使用.將這次調(diào)查情況整理并繪制如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖如圖2:
根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)本次活動(dòng)共有 位市民參與調(diào)查;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為
(4)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,若該區(qū)有46萬市民,請(qǐng)估算每天都用公共自行車的市民約有多少人?
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【題目】某校七(1)班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班同學(xué)60秒跳繩的次數(shù),并繪制出如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖:
次數(shù) | 80≤x<100 | 100≤x<120 | 120≤x<140 | 140≤x<160 | 160≤x<180 | 180≤x<200 |
頻數(shù) | a | 4 | 12 | 16 | 8 | 3 |
結(jié)合圖表完成下列問題:
(1)a= ,全班人數(shù)是______;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若跳繩次數(shù)不少于140的學(xué)生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,則優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分之幾?
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【題目】某商店需要購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表:(注:獲利=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
甲 | 乙 | |
進(jìn)價(jià)(元/件) | 14 | 35 |
售價(jià)(元/件) | 20 | 43 |
(1)若商店計(jì)劃銷售完這批商品后能獲利1240元,問甲、乙兩種商品應(yīng)分別購進(jìn)多少件?
(2)若商店計(jì)劃投入資金少于5040元,且銷售完這批商品后獲利多于1312元,請(qǐng)問有哪幾種購貨方案?并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.
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【題目】已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函數(shù)y2=kx+n(k≠0)的圖象如圖所示,下面有四個(gè)推斷:
①二次函數(shù)y1有最大值;
②二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱
③當(dāng)x=﹣2時(shí),二次函數(shù)y1的值大于0
④過動(dòng)點(diǎn)P(m,0)且垂直于x軸的直線與y1,y2的圖象的交點(diǎn)分別為C,D,當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí),m的取值范圍是m<﹣3或m>﹣1.
以上推斷正確的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示(每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形).
(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位,畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2,并直接寫出點(diǎn)B2、C2的坐標(biāo).
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