【題目】如圖(1),已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,GEBC,垂足為點(diǎn)E,GFCD,垂足為點(diǎn)F.

(1)證明與推斷:

①求證:四邊形CEGF是正方形;

②推斷:的值為   

(2)探究與證明:

將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AGBE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:

(3)拓展與運(yùn)用:

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長CGAD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2,則BC=   

【答案】(1)①四邊形CEGF是正方形;②;(2)線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;(3)3

【解析】(1)①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形,再由即可得證;

②由正方形性質(zhì)知、,據(jù)此可得、,利用平行線分線段成比例定理可得;

(2)連接CG,只需證即可得;

(3),設(shè),知,由、、,由可得a的值.

(1)①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,BCA=45°,

GEBC、GFCD,

∴∠CEG=CFG=ECF=90°,

∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=ECG=45°,

EG=EC,

∴四邊形CEGF是正方形;

②由①知四邊形CEGF是正方形,

∴∠CEG=B=90°,ECG=45°,

,GEAB,

故答案為:;

(2)連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=ACG=α,

RtCEGRtCBA中,

=cos45°=、=cos45°=,

=

∴△ACG∽△BCE,

∴線段AGBE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;

(3)∵∠CEF=45°,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線,

∴∠BEC=135°,

∵△ACG∽△BCE,

∴∠AGC=BEC=135°,

∴∠AGH=CAH=45°,

∵∠CHA=AHG,

∴△AHG∽△CHA,

,

設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=a,

則由

AH=a,

DH=AD﹣AH=a,CH==a,

∴由,

解得:a=3,即BC=3,

故答案為:3

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2)由于該產(chǎn)品深受顧客歡迎,2019年該企業(yè)在乙地建立新廠(簡稱乙廠)生產(chǎn)該產(chǎn)品.乙廠的日均生產(chǎn)的該產(chǎn)品數(shù)是甲廠2017年的3倍還多4.同年該企業(yè)要求甲、乙兩廠分別生產(chǎn)m,n件產(chǎn)品(甲廠的日均產(chǎn)量與2018年相同),m:n14:25,若甲、乙兩廠同時(shí)開始生產(chǎn),誰先完成任務(wù)?請(qǐng)說明理由.

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