Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q
（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．
（2）如圖3，當(dāng)時(shí)
①EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由．
②在旋轉(zhuǎn)過程中，連接PQ，若AC=30cm，設(shè)EQ的長為xcm，△EPQ的面積為S（cm²），求 S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并求出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C，根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；
（2）①作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，證明△MEP∽△NEQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=ME-NE=AE：CE，繼而得出結(jié)果；
②設(shè)EQ=x，根據(jù)上述結(jié)論，可用x表示出S，確定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范圍．
解答：解：（1）連接BE，如圖2：
證明：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．

（2）①作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②設(shè)EQ=x，由①得，EP=x，
∴S_△EPQ=EP×EQ=x²，
當(dāng)EQ=EF時(shí)，EQ取得最大，此時(shí)EQ=DE×tan30°=30×=10；
當(dāng)EQ⊥BC時(shí)，EQ取得最小，此時(shí)EQ=EC×sin45°=20×=10；
即，
綜上可得：S=x²（10≤x≤10）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何變換綜合題，涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)于此類綜合性較強(qiáng)的題目，關(guān)鍵還是需要同學(xué)們有扎實(shí)的基本功，注意培養(yǎng)自己的融會(huì)貫通能力．