Question

如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，且與B，C不重合，過點(diǎn)D作AC的平行線DE交AB于E，作AB的平行線DF交AC于點(diǎn)F．又知BC=5．
（1）設(shè)△ABC的面積為S．若四邊形AEFD的面積為

2

5

S；求BD長(zhǎng)．
（2）若AC=

2

AB；且DF經(jīng)過△ABC的重心G，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）由題中條件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面積比與對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比的關(guān)系，進(jìn)而再由題中的已知條件，求解其長(zhǎng)度即可；
（2）由平行線可得對(duì)應(yīng)線段的比，通過線段之間的轉(zhuǎn)化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其對(duì)應(yīng)邊成比例可得線段EF的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
記S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=

2

5

S，
∴S₁+S₂=S-

2

5

S=

3

5

S．①

S1

S

=

BD

BC

，

S2

S

=

CD

BC

，
于是

S1

S

+

S2

S

=

BD+CD

BC

=1，即

S1

+

S2

=

S

，
兩邊平方得S=S₁+S₂+2

S1S2

，
故2

S1S2

=S_AEFD=

2

5

S，即S₁S₂=

1

25

S²．②
由①、②解得S₁=

3± 5

10

S，即

S1

S

=

3± 5

10

．
而

S1

S

=(

BD

BC

)2，即

3± 5

10

=(

BD

5

)2，解得BD=

30±10 5

2

=

(5± 5 )2

2

=

5± 5

2

．

（2）由G是△ABC的重心，DF過點(diǎn)G，且DF∥AB，可得

CD

CB

=

2

3

，則DF=

2

3

AB．
由DE∥AC，

CD

CB

=

2

3

，得DE=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，∴

AC

AB

=

2

，

DF

ED

=

2AB

2AB

=

2

，
得

DF

DE

=

AC

AB

，即

DF

AC

=

DE

AB

，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得

EF

BC

=

DE

AB

，所以EF=

5 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的重心的一些基本知識(shí)，能夠掌握并熟練運(yùn)用．