Question

（2013•湖州）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2

3

的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是

2

2

．

Answer 1

分析：（1）首先，需要證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；
（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出線段B₀B_n的長(zhǎng)度，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

解答：解：由題意可知，OM=2

3

，點(diǎn)N在直線y=-x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=

2

OM=

2

×2

3

=2

6

．
如答圖①所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B₀，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B_n，連接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°，
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°=2

6

×

3

3

=2

2

．
現(xiàn)在來(lái)證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．
如答圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i．
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP，
∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP．
又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，
∴點(diǎn)B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．
綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長(zhǎng)度為2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，難度很大．本題的要點(diǎn)有兩個(gè)：首先，確定點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問(wèn)題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度，可以大幅簡(jiǎn)化計(jì)算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運(yùn)算之中．