【題目】在□ABCD中,經(jīng)過A、B、C三點的⊙O與AD相切于點A,經(jīng)過點C的切線與AD的延長線相交于點P,連接AC.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AB=4,⊙O的半徑為,求PD的長.
【答案】(1)見解析,(2)
【解析】
(1)連接AO并延長交BC于點E,交⊙O于點F,由切線的性質(zhì)可得∠FAP=90°,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠AEB=90°,由垂徑定理點BE=CE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得AB=AC;(2)連接FC,OC,設(shè)OE=x,則EF=-x,根據(jù)AF為直徑可得∠ACF=90°,利用勾股定理可得CF的長,利用勾股定理可證明OC2-OE2=CF2-EF2,即可求出x的值,進而可得EC、BC的長,由平行線性質(zhì)可得∠PAC=∠ACB,由切線長定理可得PA=PC,即可證明∠PAC=∠PCA,由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,利用等量代換可得∠ABC=∠PAC,即可證明△PAC∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AP的長,根據(jù)PD=AP-AD即可得答案.
(1)連接AO并延長交BC于點E,交⊙O于點F.
∵AP是⊙O的切線,AF是⊙O的直徑,
∴AF⊥AP,
∴∠FAP=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC.
∴∠AEB=∠FAP=90°,
∴AF⊥BC.
∵AF是⊙O的直徑,AF⊥BC,
∴BE=CE.
∵AF⊥BC,BE=CE,
∴AB=AC.
(2)連接FC,OC.
設(shè)OE=x,則EF=-x.
∵AF是⊙O的直徑,
∴∠ACF=90°.
∵AC=AB=4,AF=2,
∴在Rt△ACF中,∠ACF=90°,
∴CF==2.
∵在Rt△OEC中,∠OEC=90°,
∴CE2=OC2-OE2.
∵在Rt△FEC中,∠FEC=90°,
∴CE2=CF2-EF2.
∴OC2-OE2=CF2-EF2.即-x2=22-(-x)2.
解得x=.
∴EC==.
∴BC=2EC=.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC=.
∵AD∥BC,
∴∠PAC=∠ACB.
∵PA,PC是⊙O的切線,
∴PA=PC.
∴∠PAC=∠PCA.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠PAC=∠ABC,∠PCA=∠ACB.
∴△PAC∽△ABC,
∴=.
∴AP=·AB=2.
∴PD=AP-AD=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在抗擊新型冠狀病毒疫情期間,某校學(xué)生主動發(fā)起為武漢加油捐款活動,為了了解學(xué)生捐款金額(單位:元),隨機調(diào)查了該校的部分學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(Ⅰ)本次接受調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為_________,圖①中m的值為_________;
(Ⅱ)求統(tǒng)計的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)統(tǒng)計的這組學(xué)生捐款數(shù)據(jù)的樣本數(shù)據(jù),若該校共有1800名學(xué)生,估計該校此次捐款總金額為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,(點,分別與點,對應(yīng)),,.固定不動,運動,并滿足點在邊從向移動(點不與,重合),始終經(jīng)過點,與邊交于點,當(dāng)是等腰三角形時,______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展,人們的環(huán)境保護意識也在逐步增強.某社區(qū)設(shè)立了“保護環(huán)境愛我地球”的宣傳牌.已知立桿AB的高度是3m,從地面上某處D點測得宣傳牌頂端C點和底端B點的仰角分別是62°和45°.求宣傳牌的高度BC的長.(精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin62°=0.83,cos62°=0.47,tan62°=1.88)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點A、點B在直線的兩側(cè).
(點A到直線的距離小于點B到直線的距離).
如圖, (1)作點B關(guān)于直線的對稱點C; (2)以點C為圓心,的長為半徑作,交于點E; (3)過點A作的切線,交于點F,交直線于點P; (4)連接、. |
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列四個結(jié)論中:
①是的切線; ②平分;
③; ④.
所有正確結(jié)論的序號是___________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為,且,.給出如下定義:若平面上存在一點P,使是以線段為斜邊的直角三角形,則稱點P為點A、點B的“直角點”.
(1)已知點A的坐標(biāo)為.
①若點B的坐標(biāo)為,在點、和中,是點A、點B的“直角點”的是_________;
②點B在x軸的正半軸上,且,當(dāng)直線上存在點A、點B的“直角點”時,求b的取值范圍;
(2)的半徑為r,點為點、點的“直角點”,若使得與有交點,直接寫出半徑r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為2的正方形ABCD中,P為AB上的一動點,E為AD中點,PE交CD延長線于Q,過E作EF⊥PQ交BC的延長線于F,則下列結(jié)論:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③當(dāng)P為AB中點時,CF=;④若H為QC的中點,當(dāng)P從A移動到B時,線段EH掃過的面積為1,其中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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