Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P從B點出發(fā)沿著BC向C移動，速度為每秒2個單位，動點Q從點C出發(fā)沿CD向D出發(fā)，速度為每秒1個單位，幾秒后由C、P、Q三點組成的三角形與△ABC相似？這時線段PQ與AC的位置關系如何？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的判定定理：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．
（2）有兩種情況，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根據線段的比例關系求解．
解答：解：要使兩個三角形相似，由∠B=∠PCQ
∴只要或者
∵AB=6，BC=8
∴只要
設時間為t
則PC=8-2t，CQ=t
∴t=或者t=；

①當t=時，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC
理由：△ABC∽△PCQ
∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°，
∴∠EPC+∠ECP=90°
即PQ⊥AC；

②當t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ
理由：△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC
∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC
∴PE=EQ=CE
即AC平分PQ．
點評：（1）三角形相似的判定定理為：①兩角對應相等兩三角形相似；
②兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；
③三邊對應成比例，兩個三角形相似．
（2）注意分情況討論，不要漏掉任何一種．