已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于B(-2,0),C(4,0)兩點(diǎn),點(diǎn)E是對(duì)稱(chēng)軸l與x的交點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析表達(dá)式;
(2)T為對(duì)稱(chēng)軸l上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)B為圓心,BT為半徑作⊙B,寫(xiě)出直線(xiàn)CT與⊙B相切時(shí),T點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若在x軸上方的P點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),且∠BPC為銳角,直接寫(xiě)出PE的取值范圍;
(4)對(duì)于(1)中得到的關(guān)系式,若x為整數(shù),在使得y為完全平方數(shù)的所有x的值中,設(shè)x的最大值為m,最小值為n,次小值為s,求m、n、s的值.(注:一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方,那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù).)

解:(1)由于拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)B(-2,0),C(4,0)兩點(diǎn),則有:

解得;
故拋物線(xiàn)的解析式為:y=-x2+2x+8.

(2)易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為:x=1;
設(shè)點(diǎn)T(1,m),
則直線(xiàn)BT的斜率:k1=,直線(xiàn)CT的斜率:k2=;
若⊙B與CT相切,則有:
,
解得m=±3;
故T(1,3)或(1,-3).

(3)以E為圓心,BC長(zhǎng)為直徑作圓,交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn);
由圓周角定理知:∠BMC=∠BNC=90°,
此時(shí)ME=NE=BC=3;
若∠BPC是銳角,那么點(diǎn)P必在M、N之間的拋物線(xiàn)圖象上,故PE>3;
易知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,9),
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)位置時(shí),PE的長(zhǎng)最大,且此時(shí)PE=9;
綜上可知,PE的取值范圍為:3<PE≤9.

(4)法一:由y=-x2+2x+8,故關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+(y-8)=0有整數(shù)解,
因此△x=4-4(y-8)=-4y+36是完全平方數(shù),且△x=-4y+36≥0,
則y≤9,又y是一個(gè)完全平方數(shù),
所以,y只能為0,1,4,9;
分別代入方程x2-2x+(y-8)=0,又x為整數(shù),
解得
因此m=4、n=-2、s=1.
法二:由圖象不難看出0≤y≤9,又y是一個(gè)完全平方數(shù),
所以y只能為0,1,4,9,
分別代入關(guān)系式y(tǒng)=-x2+2x+8,又x為整數(shù),
解得,
因此m=4、n=-2、s=1.
分析:(1)將B、C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中,通過(guò)聯(lián)立方程組即可確定該拋物線(xiàn)的解析式.
(2)若⊙B與直線(xiàn)CT相切,那么BT⊥CT,易得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程,可設(shè)出點(diǎn)T的縱坐標(biāo),利用直線(xiàn)BT、直線(xiàn)CT的垂直,即斜率的乘積為-1,即可列出關(guān)于T點(diǎn)縱坐標(biāo)的方法,求得點(diǎn)T的坐標(biāo).
(3)此題應(yīng)該結(jié)合圓周角定理來(lái)理解,以E為圓心,BC為半徑作圓,交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn),那么∠BMC=∠BNC=90°,若∠BEC是銳角,那么點(diǎn)E必在M、N之間的函數(shù)圖象上,當(dāng)P位于M或N得位置時(shí),PE=3,當(dāng)P位于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí),PE的值為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)縱坐標(biāo),由此可求得PE的取值范圍.
(4)將(1)題所得拋物線(xiàn)解析式化為關(guān)于x的一元二次方程,由于方程有整數(shù)解,那么根的判別式大于0,可據(jù)此求得y的取值范圍,由于y是一個(gè)完全平方數(shù),進(jìn)而可求得y的值,再將其值代入方程中即可求得x的值,從而確定m、n、s的值.(也可通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖象來(lái)確定y的值)
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、根的判別式等重要知識(shí);涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),難度較大.
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已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(3,2),C(0,-1),D(2,3).點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)也在該函數(shù)的圖象上,當(dāng)0<x1<1,2<x2<3時(shí),y1與y2的大小關(guān)系正確的是(  )
A、y1≥y2B、y1>y2C、y1<y2D、y1≤y2

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②④⑤
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