Question

【題目】在矩形 ABCD 中，點(diǎn) P 在 AD 上，AB= ，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在 P 處，直角尺的兩邊分別交 AB、BC 于點(diǎn) E、F，連接 EF（如圖 1）．當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) B 重合時(shí)，點(diǎn) F 恰好與點(diǎn) C 重合（如 圖 2）.將直角尺從圖 2 中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E 和點(diǎn) A 重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程 中，從開(kāi)始到停止，線段 EF 的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為__________ ．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O,連接OP,OB,利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

OP=OB=EF,則利用線段垂直平分線定理2的逆定理可得O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上,再確定旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和停止時(shí)EF的中點(diǎn)位置,然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)確定線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑(線段)長(zhǎng)

解：如圖：

設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O,連接OP,OB,如圖,

在Rt△EPF中,OP=EF,

在Rt△EBF中,OB=EF

OP=OB,

O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上,

如圖,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),EF的中點(diǎn)為BC的中點(diǎn)O,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn),A重合時(shí),EF的中點(diǎn)為PB的中點(diǎn)O,

OO'為△PBC的中位線,

OO'=PC=,

.線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為.

故答案為.