如圖,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一邊QP在邊上,E、F兩點分別在AB、AC上,AD交EF于點H.
(1)求證:;
(2)設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當(dāng)點Q與點C重合時停止運動),設(shè)運動時間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】分析:(1)易證得△AEF∽△ABC,而AH、AD是兩個三角形的對應(yīng)高,EF、BC是對應(yīng)邊,它們的比都等于相似比,由此得證;
(2)此題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解;由(1)的結(jié)論可求出AH的表達(dá)式,進(jìn)而可得到HD(即FP)的表達(dá)式;已求得了矩形的長和寬,即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對應(yīng)的x的值;
(3)此題要理清幾個關(guān)鍵點,當(dāng)矩形的面積最大時,由(2)可知此時EF=5,EQ=4;易證得△CPF是等腰Rt△,則PC=PF=4,QC=QP+PC=9;
一、P、C重合時,矩形移動的距離為PC(即4),運動的時間為4s;
二、E在線段AC上時,矩形移動的距離為9-4=5,運動的時間為5s;
三、Q、C重合時,矩形運動的距離為QC(即9),運動的時間為9s;
所以本題要分三種情況討論:
①當(dāng)0≤t<4時,重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN(設(shè)AC與FE、FP的交點為M、N)的面積差,F(xiàn)M的長即為梯形移動的距離,由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)4≤t<5時,重合部分是個梯形,可用t表示出梯形的上下底,進(jìn)而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式;
③當(dāng)5≤t≤9時,重合部分是個等腰直角三角形,其直角邊的長易求得,即可得出此時S、t的函數(shù)關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵四邊形EFPQ是矩形,∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC,
∴AH⊥EF;
=

(2)解:由(1)得=,∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-x)=-x2+8x=-(x-5)2+20
∵-<0,
∴當(dāng)x=5時,S矩形EFPQ有最大值,最大值為20;

(3)解:如圖1,由(2)得EF=5,EQ=4
∵∠C=45°,△FPC是等腰直角三角形.
∴PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9
分三種情況討論:
①如圖2,當(dāng)0≤t<4時,
設(shè)EF、PF分別交AC于點M、N,
則△MFN是等腰直角三角形;
∴FN=MF=t
∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20

②如圖3
當(dāng)4≤t<5時,則ME=5-t,QC=9-t,
∴S=S梯形EMCQ=[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28

③如圖4
當(dāng)5≤t≤9時,設(shè)EQ交AC于點K,則KQ=QC=9-t
∴S=S△KQC=(9-t)2=(t-9)2
綜上所述:S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
S=
點評:此題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識,同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜邊的中點,向斜邊作垂線,畫出一個新的等腰三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫出的直角三角形的斜邊與△ABC的BC重疊,這時這個三角形的斜邊為
( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案