(2013•鹽都區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),且當(dāng)x=-2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)如圖1,動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒
5
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.連接EF,將△AEF沿EF翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,得到△DEF.
①是否存在某一時(shí)刻t,使得△DCF為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
分析:(1)根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A以及“當(dāng)x=-2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個(gè)條件,列出方程組求出待定系數(shù)的值.
(2)①首先由拋物線解析式能得到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),則線段OA、OB、OC的長(zhǎng)可求,進(jìn)一步能得出AB、BC、AC的長(zhǎng);首先用t 表示出線段AD、AE、AF(即DF)的長(zhǎng),則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長(zhǎng)以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,那么△AEF也是一個(gè)直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角,可分成三種情況討論:
1、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),由于△ABC恰好是直角三角形,且以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合,由此得到AD的長(zhǎng),進(jìn)而求出t的值;
2、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),此時(shí)∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角,由此可證得OB=OD,再得到AD的長(zhǎng)后可求出t的值;
3、點(diǎn)F為直角頂點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí),∠DFC是銳角,而點(diǎn)F在射線AC的延長(zhǎng)線上時(shí),∠DFC又是鈍角,所以這種情況不符合題意.
②此題需要分三種情況討論:
1、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段AB中點(diǎn)之間時(shí),兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè)△DEF;
2、當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)O之間時(shí),重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形,那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得;
3、當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí),重疊部分是個(gè)小直角三角形.
解答:解:(1)由題意得
16a+4b-2=0
4a-2b-2=25a+5b-2

解得:a=
1
2
,b=-
3
2


(2)①由(1)知二次函數(shù)為y=
1
2
x2-
3
2
x-2
∵A(4,0),∴B(-1,0),C(0,-2)
∴OA=4,OB=1,OC=2
∴AB=5,AC=2
5
,BC=
5

∴AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°
∵AE=2t,AF=
5
t,∴
AF
AE
=
AB
AC
=
5
2

又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后,點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn)D處;
由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF=
1
2
AE=t
假設(shè)△DCF為直角三角形
當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)
。┤鬋為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,如圖2
∴AE=
1
2
AB=
5
2

t=
5
2
÷2=
5
4
;
ⅱ)若D為直角頂點(diǎn),如圖3
∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC
∵OC⊥BD,∴OD=OB=1
∴AD=3,∴AE=
3
2

∴t=
3
4
;
當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí),∠DFC>90°,△DCF為鈍角三角形
綜上所述,存在時(shí)刻t,使得△DCF為直角三角形,t=
3
4
或t=
5
4

②。┊(dāng)0<t≤
5
4
時(shí),重疊部分為△DEF,如圖1、圖2
∴S=
1
2
×2t×t=t2;
ⅱ)當(dāng)
5
4
<t≤2時(shí),設(shè)DF與BC相交于點(diǎn)G,則重疊部分為四邊形BEFG,如圖4
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BE于H,設(shè)GH=x
則BH=
x
2
,DH=2x,∴DB=
3x
2

∵DB=AD-AB=4t-5
3x
2
=4t-5,∴x=
2
3
(4t-5)
∴S=S△DEF-S△DBG=
1
2
×2t×t-
1
2
(4t-5)×
2
3
(4t-5)=-
13
3
t2+
40
3
t-
25
3
;
ⅲ)當(dāng)2<t≤
5
2
時(shí),重疊部分為△BEG,如圖5
∵BE=DE-DB=2t-(4t-5)=5-2t,GE=2BE=2(5-2t)
∴S=
1
2
×(5-2t)×2(5-2t)=4t2-20t+25.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題,涉及了函數(shù)解析式的確定、直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圖形面積的解法等綜合知識(shí);第二題的兩個(gè)小題涉及的情況較多,一定要根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的不同位置來(lái)分類討論,抓住動(dòng)點(diǎn)的關(guān)鍵位置來(lái)確定未知數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵所在.
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x
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-
x-1
2
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