【題目】如圖,已知⊙O的弦AB等于半徑,連接OB并延長(zhǎng)使BC=OB.
(1)∠ABC= .
(2)AC與⊙O有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)在⊙O上,是否存在點(diǎn)D,使得AD=AC?若存在,請(qǐng)畫出圖形,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)120°;(2)AC是⊙O的切線,證明見解析;(3)存在.證明見解析.
【解析】解:(1)120°;……………………………………………………………1分
(2)AC是⊙O的切線.……………………………………………………3分
證法一
∵AB=OB=OA,∴△OAB為等邊三角形,…………………………4分
∴∠OBA=∠AOB=60°.……………………………………………5分
∵BC=BO,∴BC=BA,
∴∠C=∠CAB,……………………………………………………………6分
又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C,
即2∠C=60°,∴∠C=30°,………………………………………7分
在△OAC中,∵∠O+∠C=60°+30°=90°,
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切線;
證法二:
∵BC=OB,∴點(diǎn)B為邊OC的中點(diǎn),……………………………………4分
即AB為△OAC的中位線,…………………………………………………5分
∵AB=OB=BC,即AB是邊OC的一半,……………………………6分
∴△OAC是以OC為斜邊的直角三角形,…………………………………7分
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切線;
(3)存在.……………………………………………………………………9分
方法一:
如圖2,延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D,即為所求的點(diǎn).…………………………10分
證明如下:
連結(jié)AD,∵BD為直徑,∴∠DAB=90°.…………………………11分
在△CAO和△DAB中,
∵,∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分
∴AC=AD.…………………………………………………………………13分
(也可由OC=BD,根據(jù)AAS證明;或HL證得,或證△ABC≌△AOD)
方法二:
如圖3,畫∠AOD=120°,……………………………………………10分
OD交⊙O于點(diǎn)D,即為所求的點(diǎn).…………………………………………11分
∵∠OBA=60°,
∴∠ABC=180°-60°=120°.
在△AOD和△ABC中,
∵,∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分
∴AD=AC.…………………………………………………………………13分
(1)由已知可知△AOB為等邊三角形,利用平角求出∠ABC的度數(shù)
(2)利用直角三角形的性質(zhì)求出∠OAC=90°,從而得出結(jié)論
(3)延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D,即為所求的點(diǎn),利用全等三角形求證
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果水庫(kù)的水位高于標(biāo)準(zhǔn)水位3米時(shí),記作+3米,那么低于標(biāo)準(zhǔn)水位2米時(shí),應(yīng)記米.
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【題目】如圖:△ABC中,∠C=45°,點(diǎn)D在AC上,且∠ADB=60°,AB為△BCD外接圓的切線.
(1)用尺規(guī)作出△BCD的外接圓(保留作圖痕跡,可不寫作法);
(2)求∠A的度數(shù);
(3)求的值.
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【題目】在同一間中學(xué)就讀的李浩與王真是兩鄰居,平時(shí)他們一起騎自行車上學(xué),清明節(jié)后的一天,李浩因有事,比王真遲了10分鐘出發(fā),為了能趕上王真,李浩用了王真速度的1.2倍騎車追趕,結(jié)果他們?cè)趯W(xué)校大門處相遇,已知他們家離學(xué)校大門處的騎車距離為15千米.求王真的速度.
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【題目】已知點(diǎn)M在第三象限,且到x軸的距離為5,到y軸的距離為3,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
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【題目】在一個(gè)紙盒里裝有四張除數(shù)字以外完全相同卡片,四張卡片上的數(shù)字分別為1,2,3,4.先從紙盒里隨機(jī)取出一張,記下數(shù)字為,再?gòu)氖O碌娜龔堉须S機(jī)取出一張,記下數(shù)字為,這樣確定了點(diǎn)P的坐標(biāo)(, ).
(1)請(qǐng)你運(yùn)用畫樹狀圖或列表的方法,寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)P(, )在函數(shù)=-+4圖象上的概率.
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【題目】如圖,拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A,B兩點(diǎn),y與軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D。已知A(-1,0),C(0,3)
求拋物線的解析式;
在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn),使⊿PCD是以CD為腰的等腰三角形,如果存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說明理由;
點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,
①求直線BC 的解析式
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)
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