Question

【題目】我們知道，對任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pq（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）=，例如12可以分解為112，26或34，因?yàn)?2-1＞6-2＞4-3，所以34是最佳分解，所以F（n）=。

（1）如果一個正整數(shù)是另外一個正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)，求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1

（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y　（1≤x≤y≤9，x,y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們就稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）F（t）的最大值為

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)由最佳分解定義可得

（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”定義知(10y+x)(10x+y)=9(yx)=18，即y=x+2，結(jié)合的范圍可得2位數(shù)的“吉祥數(shù)”，求出每個“吉祥數(shù)”的值．即可求出最大值.

試題解析：(1)對任意一個完全平方數(shù)m,設(shè) (n為正整數(shù))，

∵|nn|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴對任意一個完全平方數(shù)m,

(2)設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′,則t′=10y+x，

∵t為“吉祥數(shù)”，

∴t′t=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=18，

∴y=x+2，

∵x，y為自然數(shù)，

∴“吉祥數(shù)”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴所有“吉祥數(shù)”中F(t)的值為：

的最大值為