Question

如圖，點(diǎn)C是圓O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在圓O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一點(diǎn)，BE交
AD于F．
（1）求證：CD是圓O的切線；
（2）若△DEF的面積為12，cos∠BFD=

2

3

，求△ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由BC=BD=OB，即可判定△OBD是等邊三角形，然后利用等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠ODB=60°，∠BDC=30°，則可證得CD是圓O的切線；
（2）由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，又由cos∠BFD=

2

3

，即可得DF：BF=2：3，然后判定△DEF∽△BAF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABF的面積．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BD=OB，OD=OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO=∠ODB=60°，
∵BC=BD，
∴∠CDB=∠DCB，
∵∠DBO=∠BDC+∠BCD，
∴∠C=∠CDB=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
即OD⊥CD，
∵點(diǎn)D在圓O上，
∴CD是圓O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BFD=

DF

BF

=

2

3

，
∵∠E=∠A，∠EFD=∠AFB，
∴△DEF∽△BAF，
∴

S△DEF

S△BAF

=(

DF

BF

)2=

4

9

，
∵S_△DEF=12，
∴△ABF的面積為27．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．