Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=1時(shí)，求△ACP的面積.

(2)t為何值時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線？

(3)請利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？(直接寫出結(jié)論)

(4)當(dāng)p點(diǎn)在AB上運(yùn)動時(shí)，線段CP值為整數(shù)的點(diǎn)有_______________個(gè).

Answer 1

【答案】(1)6;(2)t=1.5;(3) t為3s、5.4s、6s時(shí)，△ACP為等腰三角形;(4)6

【解析】

(1)根據(jù)速度為每秒2cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后根據(jù)面積公式即可得到結(jié)果；
(2)如圖1，由勾股定理得到AB==10，根據(jù)已知條件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm， BD=ABAD=4cm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
(3)①如圖2，若P在邊BC上時(shí)， AC=CP=6cm，此時(shí)用的時(shí)間為3s，△ACP為等腰三角形；②若PP在AB邊上時(shí)，有兩種情況： (i)若CP=AC=6cm，過C作作CD⊥AB于點(diǎn)D，，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，在Rt△PCD中， PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以PP運(yùn)動的路程為187.2=10.8cm，則用的時(shí)間為5.4s，△ACP為等腰三角形；(ii)若使AP=CA=6cm，此時(shí)BP=4cm，P運(yùn)動的路程為8+4=12cm，所以用的時(shí)間為6s，△ACP為等腰三角形；

(4) 當(dāng)p點(diǎn)在AB上運(yùn)動時(shí),先求出AC的取值范圍，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)D兩側(cè)討論即可.

解：(1)當(dāng)t=1時(shí)，PC=1×2=2，
∵AC=6，
∴S△ACP=ACPC=×6×2=6；
(2)如圖，

∵∠C=90°，
∴AB==10，
根據(jù)題意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6，BD=ABAD=4，PD=PC=2t，
∴PB=82t，
在Rt△PDB中，PD2+BD2=PB2，
∴(2t)2+42=(82t)2，
解得： t=1.5；
(3)因?yàn)椤鰽CP是以AC為腰的等腰三角形，

① 如圖2，若P在邊BC上時(shí)， AC=CP=6，

此時(shí)用的時(shí)間為t=6÷2=3，△ACP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時(shí)，有兩種情況：
(i)如圖3,

若CP=AC=6，過C作作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，
在Rt△PCD中， PD= =3.6，
所以AP=2PD=7.2，
所以P運(yùn)動的路程為187.2=10.8，

則用的時(shí)間為t=10.8÷2=5.4，△ACP為等腰三角形；
(ii)如圖4，

若使AP=AC=6，此時(shí)BP=4， P運(yùn)動的路程為8+4=12，
所以用的時(shí)間為t=12÷2=6，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s時(shí)，△ACP為等腰三角形．

（4）因?yàn)楫?dāng)p點(diǎn)在AB上運(yùn)動時(shí)，由圖3知，4.8CP8,

當(dāng)p點(diǎn)在DB上運(yùn)動時(shí),CP的整數(shù)值可為8,7,6,5；

當(dāng)p點(diǎn)在DA上運(yùn)動時(shí),CP的整數(shù)值可為6,5,

綜上所述，當(dāng)p點(diǎn)在AB上運(yùn)動時(shí)，線段CP值為整數(shù)的點(diǎn)有6個(gè).