Question

已知p、q、

2q-1

p

、

2p-1

q

都是整數(shù)，且p＞1，q＞1．則p+q=

 

．

Answer 1

分析：此題運(yùn)用假設(shè)法，如設(shè)若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，則2q-1＞=2p，2p-1＞=2q，兩式相加得 2p+2q-2≥2p+2q，顯然矛盾，可得出故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一個(gè)小于2，再假設(shè)

2q-1

p

＜2，根據(jù)

2q-1

p

是整數(shù)，且p＞1 q＞1即可求出p、q的值，再由q＞1即可得出q=3 p=5，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，則
2q-1≥2p，2p-1≥2q，
兩式相加得 2p+2q-2≥2p+2q． 顯然矛盾，
故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一個(gè)小于2．
設(shè)

2q-1

p

＜2，因?yàn)?

2q-1

p

是整數(shù)，且p＞1 q＞1，
所以

2q-1

p

=1，即2q-1=p．
又因?yàn)?

2p-1

q

=

4q-3

q

是整數(shù)，即4-

3

q

是整數(shù)，
所以q=1或q=3．
又因?yàn)閝＞1，
所以q=3 p=5，
則q+p=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是利用反證法假設(shè)

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，再根據(jù)2q-1≥2p，2p-1≥2q即可得出與已知相矛盾的結(jié)論，再設(shè)

2q-1

p

＜2，由不等式的基本性質(zhì)及已知條件即可得出結(jié)論．