【題目】如圖,在平面直角坐標系中,ABC的一邊AB在x軸上,ABC=90°,點C(4,8)在第一象限內(nèi),AC與y軸交于點E,拋物線y=+bx+c經(jīng)過A、B兩點,與y軸交于點D(0,﹣6).

(1)請直接寫出拋物線的表達式;

(2)求ED的長;

(3)點P是x軸下方拋物線上一動點,設點P的橫坐標為m,PAC的面積為S,試求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;

(4)若點M是x軸上一點(不與點A重合),拋物線上是否存在點N,使∠CAN=∠MAN.若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=;(2);(3)S=﹣m2+m+26(﹣2<m<4);(4)(,);(,﹣

【解析】

(1)先確定B(4,0),再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=;

(2)先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=x+,則可確定E(0,),然后計算DE的長;

(3)如圖1,作PQy軸交ACQ,設P(m,m2-m-6),則Q(m,m+),則PQ=-m2+m+,然后根據(jù)三角形面積公式,利用S=SPAQ+SPCQ計算即可;

(4)如圖2,當點Mx的正半軸,ANBCF,作FHACH,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FH=FB,易得AH=AB=6,再利用∠ACB的余弦可求出CF=5,則F(4,3),接著求出直線AF的解析式為y=x+1,于是通過解方程組N點坐標為();當點M′x的負半軸上時,AN′y軸與G,先在證明∴RtOAGRtBFA,在利用相似比求出OG=4,所以G(0,-4),接下來利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=-2x-4,然后解方程組N′的坐標.

(1)∵BC⊥x軸,點C(4,8),

∴B(4,0),

B(4,0),C(0,-6)代入y=x2+bx+c

,解得,

∴拋物線解析式為y=x2-x-6;

(2)設直線AC的解析式為y=px+q,

A(-2,0),C(4,8)代入得

,解得

∴直線AC的解析式為y=x+,

x=0時,y=x+=,則E(0,),

∴DE=+6=;

(3)如圖1,作PQ∥y軸交ACQ,

P(m,m2-m-6),則Q(m,m+),

∴PQ=m+-(m2-m-6)=-m2+m+,

∴S=SPAQ+SPCQ=×6×PQ=-m2+m+26(-2<m<4);

(4)如圖2,當點Mx的正半軸,ANBCF,作FH⊥ACH,則FH=FB,

易得AH=AB=6,

∵AC=

∴CH=10-6=4,

∵cos∠ACB=,

∴CF==5,

∴F(4,3),

易得直線AF的解析式為y=x+1,

解方程組,

∴N點坐標為,);

當點M′在x的負半軸上時,AN′交y軸與G,

∵∠CAN′=∠M′AN′,

∴∠KAM′=∠CAK,

而∠CAN=∠MAN,

∴∠KAC+∠CAN=90°,

而∠MAN+∠AFB=90°,

∴∠KAC=∠AFB,

而∠KAM′=∠GAO,

∴∠GAO=∠AFB,

∴Rt△OAG∽Rt△BFA,

,即,解得OG=4,

∴G(0,-4),

易得直線AG的解析式為y=-2x-4,

解方程組,

∴N′的坐標為(,-).

綜上所述,滿足條件的N點坐標為,), (,-).

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