Question

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結論中：
①CE=BD；        ②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；  ④CD•AE=EF•CG；
一定正確的結論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四邊形的性質(zhì)可得AE=CD，再結合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，進而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．
解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正確；
②∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正確；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴∠ADB=∠AEB；
故③正確；
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，
∴∠BEA=∠CAE=∠BDA，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠BEA=90°，
∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，
∴∠ADB+∠GFD=90°，
∴∠CGD=90°，
∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，
∴△CGD∽△EAF，
∴，
∴CD•AE=EF•CG．
故④正確，
故正確的有4個．
故選D．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，以及相似三角形的判定，注意細心分析，熟練應用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解決問題的關鍵．