Question

14、若一個等腰三角形的三邊長均滿足方程x²-9x+18=0，則此三角形的周長為

9，15或18

．

Answer 1

分析：把已知的方程左邊利用十字相乘的方法分解因式，轉化為兩個一元一次方程，即可求出方程的兩個解，然后分四中情況考慮：第一：考慮3為腰，6為底邊，不滿足兩邊之和大于第三邊，故此情況不成立；第二：3為底邊，6為腰，得出三角形的三邊，求出三邊之和即為三角形的周長；第三：三邊長都為3，即三角形為等邊三角形，求出周長即可；第四：三邊長都為6，同理求出周長即可．

解答：解：方程x²-9x+18=0，
因式分解得：（x-3）（x-6）=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
若3為等腰三角形的腰，6為底邊，則3+3=6，不能構成三角形，舍去；
若3為底邊，6為腰，此三角形的三邊分別為6，6，3，則周長為6+6+3=15；
若三角形三邊長都為3，即三角形為等邊三角形，則周長為3+3+3=9；
若三角形三邊長都為6，即三角形為等邊三角形，則周長為6+6+6=18，
綜上，此三角形的周長為9，15或18．
故答案為：9，15或18

點評：此題考查了用因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系以及等腰三角形的性質，分解因式法是解一元二次方程常用的方法，其理論依據(jù)為：等號左邊為兩個因式的積，等號右邊為0，則兩因式中至少有一個為0．本題的難點在于利用了分類討論的數(shù)學思想，考慮滿足題意的四種情況，利用三角形的三邊關于判斷得到符合題意的情況，然后根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的有關性質來解決，體現(xiàn)了用代數(shù)知識解決幾何問題的樂趣．