Question

如圖所示，⊙O沿著凸n邊形A₁A₂A₃…A_n-1A_n的外側(cè)（圓和邊相切）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置．
（1）當(dāng)⊙O和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明：⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈；
（2）當(dāng)⊙O的周長(zhǎng)是a，凸n邊形的周長(zhǎng)是b時(shí)，請(qǐng)寫明此時(shí)⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)．

Answer 1

（1）證明：一個(gè)圓沿著線段的一個(gè)端點(diǎn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)，圓自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=（線段的長(zhǎng)度÷圓的周長(zhǎng)），因此若不考慮⊙O滾動(dòng)經(jīng)過(guò)n個(gè)頂點(diǎn)的情況，則⊙O自身恰好轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈，現(xiàn)證明，當(dāng)⊙O在某邊的一端，滾動(dòng)經(jīng)過(guò)該端點(diǎn)（即頂點(diǎn)）時(shí)，⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度恰好等于n邊形在這個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角．
如圖所示，設(shè)∠A₂A₁A_n為鈍角，已知A_nA₁是⊙O的切線，⊙O滾動(dòng)經(jīng)過(guò)端點(diǎn)A₁后到⊙O′的位置，此時(shí)A₁A₂是⊙O′的切線，因此OA⊥A_nA₁，O′A₁⊥A₁A₂，當(dāng)⊙O轉(zhuǎn)動(dòng)至⊙O′時(shí)，則∠γ就是⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角．
∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O滾動(dòng)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A₁自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度恰好等于頂點(diǎn)A1的一個(gè)外角．對(duì)于頂點(diǎn)是銳角或直角的情況，類似可證（注：只證明直角的情況）
∵凸n邊形的外角和為360°
∴⊙O滾動(dòng)經(jīng)過(guò)n個(gè)頂點(diǎn)自身又轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．

（2）解：由（1）可得，⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是圈．
分析：（1）根據(jù)圓自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=線段的長(zhǎng)度÷圓的周長(zhǎng)，設(shè)∠A₂A₁A_n為鈍角，可證明⊙O滾動(dòng)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A₁自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度恰好等于頂點(diǎn)A₁的一個(gè)外角．即當(dāng)⊙O和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈；
（2）有上面的結(jié)果，可得⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是圈．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式的實(shí)際應(yīng)用，有一定的難度，要仔細(xì)考慮．