Question

（本小題滿分10分）已知關(guān)于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根.
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y= mx²-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.
（3）在直角坐標(biāo)系xoy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問題：當(dāng)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍.

Answer 1

（1）略
（2）y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）
（3）當(dāng)b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點解析:
解：（1）分兩種情況討論：
①當(dāng)m=0 時，方程為x－2=0，∴x="2" 方程有實數(shù)根
②當(dāng)m≠0時，則一元二次方程的根的判別式
△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0
不論m為何實數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實數(shù)根
綜合①②，可知m取任何實數(shù)，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有實數(shù)根.
（2）設(shè)x₁，x₂為拋物線y= mx²-(3m－1)x+2m－2與x軸交點的橫坐標(biāo).
則有x₁+x₂=，x₁·x₂=
由| x₁－x₂|====，
由| x₁－x₂|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求拋物線的解析式為：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－
即y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）其圖象如圖所示.

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y₁，y₂組成的圖象只有兩個交點，結(jié)合圖象，求b的取值范圍.
，當(dāng)y₁=y時，得x²－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<－或b>－時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.
由
當(dāng)y₁=y₂時，有x=2或x=1
當(dāng)x=1時，y=－1
所以過兩拋物線交點（1，－1），（2，0）的直線y=x－2，
綜上：當(dāng)b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.