【題目】如圖,直線y=x+3分別交x,y軸于點D,C,點B在x軸上,OB=OC,過點B作直線m∥CD.點P、Q分別為直線m和直線CD上的動點,且點P在x軸的上方,滿足∠POQ=45°
(1)則∠PBO=度;
(2)問:PBCQ的值是否為定值?如果是,請求出該定值;如果不是,請說明理由;
(3)求證:CQ2+PB2=PQ2 .
【答案】
(1)135
(2)
解:PBCQ是定值,理由如下:
∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO,
∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°,∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°,
∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°,
又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°,
∴∠COQ=∠BPO,∠CQO=∠BOP,
∴△COQ∽△BPO,
∴ ,即PBCQ=OBOC=9
(3)
解:證明:過點Q作QE⊥m于點E,如圖1所示.
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴∠OBC=45°,BC=3 .
∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°,
又∵QE⊥m,
∴CB∥QE,∠PEQ=90°.
∵直線m∥直線CD,
∴四邊形BEQC為矩形,
∴QE=CB=3 .
在Rt△QEP中,∠PEQ=90°,PE=PB﹣CQ,QE=3 ,
∴PQ2=QE2+PE2=18+(PB﹣CQ)2,
又∵PBCQ=9,
∴PQ2=2PBCQ+(PB﹣CQ)2=PB2+CQ2
【解析】解:(1)令x=0,則y=3,
即點C的坐標(biāo)為(0,3);
令y=0,則有x+3=0,
解得:x=﹣3,即點D的坐標(biāo)為(﹣3,0).
又∵OB=OC,
∴OC=OD=OB=3.
∵tan∠ODC= =1,
∴∠ODC=45°,
∵直線m∥直線CD,
∴∠ODC+∠PBO=180°,
∴∠PBO=135°.
所以答案是:135
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識,掌握測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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【題目】列方程解應(yīng)用題:
為了緩解北京市西部地區(qū)的交通擁堵現(xiàn)象,市政府決定修建本市的第一條磁浮地鐵線路﹣﹣“S1線”.該線路連接北京城區(qū)與門頭溝,西起石門營,向東經(jīng)蘋果園,終點至慈壽寺與6號線和10號線相接.為使該工程提前4個月完成,在保證質(zhì)量的前提下,必須把工作效率提高10%.問原計劃完成這項工程需用多少個月.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(感知)如圖①,AB∥CD,點E在直線AB與CD之間,連結(jié)AE、BE,試說明∠BEE+∠DCE=∠AEC.下面給出了這道題的解題過程,請完成下面的解題過程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式):
解:如圖①,過點E作EF∥AB
∴∠BAE=∠1( )
∵AB∥CD( )
∴CD∥EF( )
∴∠2=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2( )
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC
(探究)當(dāng)點E在如圖②的位置時,其他條件不變,試說明∠AEC+∠FGC+∠DCE=360°;
(應(yīng)用)點E、F、G在直線AB與CD之間,連結(jié)AE、EF、FG和CG,其他條件不變,如圖③.若∠EFG=36°,則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG= °.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,BC=2,點P,Q,R分別是AB,AC,BC上的動點,PQ+PR+QR的最小值是_____.
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【題目】已知∠ABC=90°,點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長交BP于點F.
(1)如圖1,若AB=,點A,E,P恰好在一條直線上時,求EF的長(直接寫出結(jié)果);
(2)如圖2,當(dāng)點P為射線BC上任意一點時,求證:BF=EF;
(3)若AB=,設(shè)BP=2,求QF的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點E,過點E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段MN的長為( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【題目】如圖,對正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作:
(i)過點D任作一條直線與BC邊相交于點E1(如圖①),記∠CDE1=α1;
(ii)作∠ADE1的平分線交AB邊于點E2(如圖②),記∠ADE2=α2;
(iii)作∠CDE2的平分線交BC邊于點E3(如圖③),記∠CDE3=α3;
按此作法從操作(2)起重復(fù)以上步驟,得到α1 , α2 , …,αn , …,現(xiàn)有如下結(jié)論:①當(dāng)α1=10°時,α2=40°;②2α4+α3=90°; ③當(dāng)α5=30°時,△CDE9≌△ADE10;④當(dāng)α1=45°時,BE2= .
其中正確的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)若∠ABC的平分線分別交AD,AC于P,Q兩點,證明:AP=AQ.
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【題目】生活經(jīng)驗表明,靠墻擺放梯子時,若梯子底端離墻的距離約為梯子長度的,則梯子比較穩(wěn)定,如圖,AB為一長度為6米的梯子.
(1)當(dāng)梯子穩(wěn)定擺放時,它的頂端能達(dá)到5.7米高的墻頭嗎?
(2)如圖2,若梯子底端向左滑動(3﹣2)米,那么梯子頂端將下滑多少米?
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