【題目】正方形ABCD中,點P為直線BC上的一點,DP的垂直平分線交射線DC于M,交DP于E,交射線AB于N.
(1)當(dāng)點M在CD邊上時如圖①,易證PM-CP=AN;
(2)當(dāng)點M在CD邊延長線上如圖②、圖③的位置時,上述結(jié)論是否成立?寫出你的猜想,并對圖②給予證明.
圖① 圖② 圖③
【答案】圖②:PM+CP=AN;圖③:PM-CP=AN,證明見解析.
【解析】(1)過N作NQ∥AD,則NQ=AD,AN=DQ,易證∠MNQ=∠PDC,即可證明△MNQ≌△PDC,可得QM=PC,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM,即可解題;
(2)①作MQ∥BF,則AQ=DM,QM=AD=CD,易證∠NMQ=∠MDE,即可證明△NMQ≌△PDC,可得QN=PC,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得PM=AQ,即可解題;
③作NQ∥BC,則NQ=AD=CD,AN=DQ,易證∠NMD=∠CPD,即可證明△CDP≌△EDM,可得QM=CP,再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM,即可解題.
證明:(1)過N作NQ∥AD,則NQ=AD,AN=DQ,
∵MN是PD垂直平分線,
∴DM=PM,
∵∠NMQ+∠MNQ=90°,∠NMQ+∠PDC=90°,
∴∠MNQ=∠PDC,
∵在△MNQ和△PDC中,
∠MQN=∠PCD=90°,NQ=CD,∠MNQ=∠PDC
∴△MNQ≌△PDC,(ASA)
∴QM=PC,
∵DM=DQ+QM,
∴PM=AN+PC,即PM-CP=AN;
(2)①M在圖②位置時,不成立,新結(jié)論為AN=PM+CP;
理由:作MQ∥BF,則AQ=DM,QM=AD=CD,∠QMD=90°,
∵EF是PD垂直平分線,∴DM=PM,
∴PM=AQ,
∵∠NMQ+∠DME=90°,∠DME+∠MDE=90°,
∴∠NMQ=∠MDE,
∵在△NMQ和△PDC中,
∠NMQ=∠MDE,QM=CD,∠MQN=∠DCP=90°
∴△NMQ≌△PDC,(ASA)
∴QN=PC,
∵AN=AQ+QN,
∴AN=PM+CP;
②M在圖③位置時,成立,
理由:作NQ∥BC,則NQ=AD=CD,AN=DQ,
∵EM是PD的垂直平分線,
∴DM=PM,
∵∠NMD+∠MDE=90°,∠CPD+∠MDE=90°,
∴∠NMD=∠CPD,
∵在△CDP和△EDM中,
∠NMD=∠CPD,∠MQN=∠PCD,CD=NQ
∴△CDP≌△EDM,(AAS)
∴QM=CP,
∵DM=QM+DQ,
∴PM=AN+CP,即PM-CP=AN.
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【題目】點A(a,4),點B(3,b)關(guān)于x軸對稱,則(a+b)2013的值為 ( )
A. 0 B. -1 C. 1 D. 72013
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【題目】如果一個角的補(bǔ)角是130°,那么這個角的余角的度數(shù)是( )
A. 20°B. 40°C. 70°D. 130°
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【題目】如圖,已知∠1=68°,∠2=68°,∠3=112°.
(1)因為∠1=68°,∠2=68°(已知),
所以∠1=∠2.
所以_____________________∥_____________________ (同位角相等,兩直線平行).
(2)因為∠3+∠4=180°(平角的定義),∠3=112°,
所以∠4=68°.
又因為∠2=68°,
所以∠2=∠4,
所以_________________∥_________________ (同位角相等,兩直線平行).
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【題目】下列各組中的四條線段成比例的是( )
A.a=1,b=3,c=2,d=4
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=4,c=3,d=6
D.a=2,b=3,c=4,d=1
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