Question

（1）填表：

n（凸多邊形的邊數(shù)）	3	4	5	…
m（凸多邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值）	1	2	3	…

（2）猜想給定一個(gè)正整數(shù)n，凸n邊形最多有m個(gè)內(nèi)角等于135°，則m與n之間有怎樣的關(guān)系？
（3）取n=7驗(yàn)證你的猜想是否成立？如果不成立，請(qǐng)給出凸n邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于135°？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和，可求得答案；
（2）根據(jù)（1）可猜想凸n邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值為：n-2；
（3）設(shè)凸n邊形最多有m個(gè)內(nèi)角等于135°，則每個(gè)135°內(nèi)角的外角都等于45°，由凸n邊形的n個(gè)外角和為360°，可得k≤

360

45

=8，只有當(dāng)n=8時(shí)，m才有最大值8，即可得當(dāng)3≤n≤5時(shí)，凸n邊形最多有n-2個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)6≤n≤7時(shí)，凸n邊形最多有n-1個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)n=8時(shí)，凸n邊形最多有8個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)n＞8時(shí)，凸n邊形最多有7個(gè)內(nèi)角等于135°．

解答：解：（1）∵三角形中只有一個(gè)鈍角，
∴三邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值為1；
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴四邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值為2；
∵五邊形的內(nèi)角和為540°，
∴五邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值為3；
故答案為：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n邊形中角度等于135°的內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值為：n-2．
即m=n-2；

（3）取n=7時(shí)，m=6，驗(yàn)證猜想不成立；
設(shè)凸n邊形最多有m個(gè)內(nèi)角等于135°，則每個(gè)135°內(nèi)角的外角都等于45°，
∵凸n邊形的n個(gè)外角和為360°，
∴k≤

360

45

=8，只有當(dāng)n=8時(shí)，m才有最大值8，
討論n≠8時(shí)的情況：
（1）當(dāng)時(shí)n＞8，顯然，m的值是7；
（2）當(dāng)n=3，4，5時(shí)，m的值分別為1，2，3；
（3）當(dāng)n=6，7時(shí)，m的值分別為5，6；
綜上所述，當(dāng)3≤n≤5時(shí)，凸n邊形最多有n-2個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)6≤n≤7時(shí)，凸n邊形最多有n-1個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)n=8時(shí)，凸n邊形最多有8個(gè)內(nèi)角等于135°；當(dāng)n＞8時(shí)，凸n邊形最多有7個(gè)內(nèi)角等于135°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．