Question

已知關(guān)于x的二次方程x²-2（a-2）x+a²-5=0的兩根為α、β，且αβ=2α+2β，則a=

 

，|α-β|=

 

．

Answer 1

分析：欲求|α-β|的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，而αβ=2α+2β=2（α+β），a²-5=2[2（a-2）]，即可求得α的值，即可求得方程，解方程求得方程的兩根，從而求得|α-β|的值．

解答：解：由題意知，
α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，
而αβ=2α+2β=2（α+β），
∴a²-5=2[2（a-2）]，
∴a²-4a+3=0，
解得：a₁=1，a₂=3．
又∵方程有兩根，
∴△=4（a-2）²+4（a²-5）=-16a+36≥0，
∴a≤

9

4

，
∴a₂=3舍去．
當(dāng)a=1時，原方程化為：x²+2x-4=0，
解得，α=-1-

5

，β=-1+

5

，
∴|α-β|=2

5

．
故填空答案：1，2

5

．

點(diǎn)評：1、根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
2、將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
3、一元二次方程有根，則△≥0．