Question

設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．求：若x₁²+x₂²=6，求m的值．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac＞0和已知條件“m是不小于-1的實(shí)數(shù)”求得m的取值范圍-1≤m＜1；然后利用韋達(dá)定理求得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，即2m²-10m+4=0，再利用求根公式求得m的值．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）＞0，x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
整理得：-m+1＞0，
解得：m＜1；
又∵m是不小于-1的實(shí)數(shù)，
∴-1≤m＜1；
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，
∴4（m-2）²-2（m²-3m+3）=6，即2m²-10m+4=0，
解得m₁=

5+ 17

2

（不合題意，舍去），m₂=

5- 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．