Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)、B（3，）兩點(diǎn)，BC⊥x軸，垂足為C．點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連結(jié)AM、BM，設(shè)△AMB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
(3)連結(jié)PC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PMBC是菱形．（10分）

Answer 1

（1）   (2)； 當(dāng)
（3）四邊形PMBC為菱形。

試題分析：（1）已知拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)、B（3，）兩點(diǎn)，那么，解得，所以此拋物線的函數(shù)表達(dá)式是
（2）BC⊥x軸，垂足為C．點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交X軸于D點(diǎn)；，而，；M、P點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，由（1）知拋物線的解析式是，所以M的縱坐標(biāo)為；由題知A0=1，BC=，OD=t，CD=OC-OD=3-t,DM=,所以=
+-=，
設(shè)△AMB的面積為S，= ，要使有最大值，那么當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)
（3）四邊形PMBC是菱形，則PM=PC=BC，而由題知BC=，PM=PC=BC=，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，M的縱坐標(biāo)為，MD=，PD=MD-MP=-=，在中，由勾股定理得，即，解得，所以四邊形PMBC為菱形
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，求最值，菱形，要求學(xué)生掌握用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值，掌握菱形的性質(zhì)，本題問題多，所涉及的知識(shí)面廣，計(jì)算量比較大，但總體難度不大