我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它由四個全等的直角三角形拼接而成．點E，F(xiàn)，G，H分別是AF，BG，CH，DE的中點，點M，N，P，Q分別是HE，EF，F(xiàn)G，GH上的中點，且四邊形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面積為20，則正方形MNPQ的面積是
2
2
．
分析：由E為AF的中點，得到AE為AF的一半，由題意得到AE為DE的一半，根據(jù)正方形ABCD的面積求出邊長，在直角三角形AED中，設AE=x，則DE=2x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出正方形EFGH的邊長，進而求出它的面積，根據(jù)正方形MNQP為正方形EFGH的中點四邊形，面積為正方形EFGH的一半，求出即可．
解答：解：∵E為AF的中點，DE=AF，
∴AE=
1
2
DE，
∵正方形ABCD面積為20，∴AD=2
5
，
在Rt△ADE中，設AE=x，則DE=2x，
根據(jù)勾股定理得：AD2=AE2+DE2，即20=x2+4x2，
解得：x=2，
∴AE=EF=2，
∴正方形EFGH的面積為4，
∵正方形MNQP為正方形EFGH的中點四邊形，
∴正方形MNQP的面積為2．
故答案為：2
點評：此題考查了勾股定理的證明，涉及的知識有：勾股定理，中點四邊形的性質(zhì)，以及正方形面積公式的應用，利用了方程的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言．
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形，寫出勾股定理內(nèi)容；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進行了證明．著名數(shù)學家華羅庚提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言．
請根據(jù)圖1中直接三角形敘述勾股定理．
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以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）．請你利用圖2，驗證勾股定理；
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明
a+b
c
＜
2
．其證明步驟如下：
∵BC=a+b，AD=
 
；
又∵在直角梯形ABCD中有BC
 
AD（填大小關系），即
 
．
∴
a+b
c
＜
2
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3． 若S1+S2+S3=15，則S2的值是
5
5
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（分別用文字語言及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明．現(xiàn)以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]
如圖3所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現(xiàn)設計兩種方案：
方案一：如圖4所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a1=AB+AP．
方案二：如圖5所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a2=AP+BP．①在方案一中，a1=
x+3
x+3
km（用含x的式子表示）
②在方案二中，a2=
x2+48
x2+48
km（用含x的式子表示）
③請你分析：要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．

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