【題目】已知:如圖1,在面積為3的正方形ABCD中,E、F分別是BC和CD邊上的兩點,AE⊥BF于點G,且BE=1.

1)求證:ABE≌△BCF

2)求出ABEBCF重疊部分(即BEG)的面積;

3)現(xiàn)將ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到AB′E′(如圖2),使點E落在CD邊上的點E′處,問ABE在旋轉(zhuǎn)前后與BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化?請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;

2

3)沒有變化,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)由四邊形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由AE⊥BF,由同角的余角相等,即可證得∠BAE=∠CBF,然后利用ASA,即可判定:△ABE≌△BCF;

2)由正方形ABCD的面積等于3,即可求得此正方形的邊長,由在△BGE△ABE中,∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,可證得△BGE∽△ABE,由相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得答案;

3)首先由正切函數(shù),求得∠BAE=30°,易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,可得DE’=B’E’=BE,由(1)可知BE=CF,從而得CF=DE’,繼而可得DF=CE’

試題解析:(1)正方形ABCD中,AB=BC∠ABC=∠BCF=90°,∴∠ABF+∠CBF=90°∵AE⊥BF, ∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠CBF=∠BAE ,∴△ABE ≌△BCF ;

2正方形面積為3AB=,∵∠GBE=BAE,EGB=EBA=90°,∴△BGE∽△ABE,又BE=1,AE2=AB2+BE2=3+1=4,SBGE==;

3∵BE=1AB=,∴tan∠BAE=∴∠BAE=30°,由已知易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,∴DE’=B’E’=BE,∵△ABE≌△BCF∴BE=CF,∴CF=DE’,∴DF=CE′

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