如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、E(3,0)兩點,與y軸交于點B(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線頂點為D,求四邊形AEDB的面積;
(3)△AOB與△DBE是否相似?如果相似,請給以證明;如果不相似,請說明理由.
(1)∵拋物線與y軸交于點(0,3),
∴設拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a≠0)(1分)
根據(jù)題意,得
a-b+3=0
9a+3b+3=0

解得
a=-1
b=2

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3(5分);

(2)如圖,設該拋物線對稱軸是DF,連接DE、BD.過點B作BG⊥DF于點G.
由頂點坐標公式得頂點坐標為D(1,4)(2分)
設對稱軸與x軸的交點為F
∴四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE
=
1
2
AO•BO+
1
2
(BO+DF)•OF+
1
2
EF•DF
=
1
2
×1×3+
1
2
×(3+4)×1+
1
2
×2×4
=9;

(3)相似,如圖,
BD=
BG2+DG2
=
12+12
=
2

∴BE=
BO2+OE2
=
32+32
=3
2

DE=
DF2+EF2
=
22+42
=2
5

∴BD2+BE2=20,DE2=20
即:BD2+BE2=DE2,
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°,且
AO
BD
=
BO
BE
=
2
2
,
∴△AOB△DBE(2分).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=
1
2
x2-
3
2
mx-2m
交x軸于A(x1,0)、B(x2,0),交y軸于C點,且x1<0<x2,(AO+OB)2=12CO+1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P,使∠APB為銳角?若存在,求出P點的橫坐標的范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
3
4
,點P在線段AB上運動,點Q、R分別在線段BC,AC上,且使得四邊形APQR是矩形.設AP的長是x,矩形APQR面積為y,已知y是x的函數(shù),其圖象是過點(12,36)的拋物線上的一部分.
(1)求AB的長;
(2)當AP為何值時,矩形APQR的面積最大,并求出最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標系內(nèi),O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)如圖,將紙片沿CE對折,使點B落在x軸上的點D處,求D點的坐標;
(2)在(1)中,設BD與CE的交點為P,如果點B、P在拋物線y=x2+bx+c上,求b、c的值;
(3)如果將矩形紙片沿某直線l對折,使點B落在坐標軸上的點F處,且BF與l的交點Q恰好落在(2)的拋物線上.除了上述的點D外,這樣的點F是否存在?如果存在,求出點F的坐標,如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

正常水位時,拋物線拱橋下的水面寬為20m,水面上升3m達到該地警戒水位時,橋下水面寬為10m.
(1)在恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼抵星蟪鏊娴綐蚩醉敳康木嚯xy(m)與水面寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲,那么達到警戒水位后,再過多長時間此橋孔將被淹沒?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-x2-3x+4和拋物線y=x2-3x-4相交于A,B兩點.點P在拋物線C1上,且位于點A和點B之間;點Q在拋物線C2上,也位于點A和點B之間.
(1)求線段AB的長;
(2)當PQy軸時,求PQ長度的最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

問題背景:
若矩形的周長為1,則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設矩形的一邊長為x,面積為s,則s與x的函數(shù)關(guān)系式為:s=-x2+
1
2
x
(x>0),利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.
提出新問題:
若矩形的面積為1,則該矩形的周長有無最大值或最小值?若有,最大(。┲凳嵌嗌?
分析問題:
若設該矩形的一邊長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=2(x+
1
x
)
(x>0),問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大(。┲盗耍
解決問題:
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗,探索函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值.
(1)實踐操作:填寫下表,并用描點法畫出函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的圖象:
x1/41/31/21234
y
17
2
20
3
545
20
3
17
2
(2)觀察猜想:觀察該函數(shù)的圖象,猜想當x=______時,函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)有最______值(填“大”或“小”),是______.
(3)推理論證:問題背景中提到,通過配方可求二次函數(shù)s=-x2+
1
2
x
(x>0)的最大值,請你嘗試通過配方求函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(。┲,以證明你的猜想.〔提示:當x>0時,x=(
x
)2

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點A、C,過A、C兩點的拋物線y=ax2-2ax+c交x軸于另一點B.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度沿線段BA方向運動,同時動直線l從x軸出發(fā),以每秒1個單位長度沿y軸方向平行移動,直線l交AC與D,交BC于E,當點Q運動到點A時,兩者都停止運動.設運動時間為t秒,△QED的面積為S.
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式:并探究:當t為何值時,S有最大值為多少?
②在點Q及直線l的運動過程中,是否存在△QED為直角三角形?若存在,請求t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

Rt△ABC的三個頂點A,B,C均在拋物線y=x2上,并且斜邊AB平行于x軸.若斜邊上的高為h,則(  )
A.h<1B.h=1C.1<h<2D.h>2

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