Question

某課題學(xué)習(xí)在探討一團(tuán)周長(zhǎng)為4a的線(xiàn)圈時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下兩個(gè)命題：
命題1：如圖①，當(dāng)線(xiàn)圈做成正三角形ABC時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋�。�
命題2：如圖②，當(dāng)線(xiàn)圈做成正方形ABCD時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
請(qǐng)你繼續(xù)探究下列幾個(gè)問(wèn)題：
（1）如圖③，當(dāng)線(xiàn)圈做成正五邊形ABCDE時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明能被半徑為a的圓形紙片完全蓋��；
（2）如圖④，當(dāng)線(xiàn)圈做成平行四邊形ABCD時(shí)，能否被半徑為a的圓形紙片完全蓋住請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖⑤，當(dāng)線(xiàn)圈做成任意形狀的圖形時(shí)，是否還能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住？若能蓋住，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若不能蓋住，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）為了證明其半徑小于a，只需證明OA＜AB．根據(jù)它們所對(duì)的角的大小即可證明；
（2）只需證明平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)的距離小于a即可．
（3）只需取曲線(xiàn)上兩點(diǎn)A、B，使曲線(xiàn)分成相等的兩部分，根據(jù)三角形第三邊上的中線(xiàn)小于其它兩邊的和的一半進(jìn)行證明．

解答：解：（1）在如圖③中，

∵∠AOB=72°，∠OAB=∠OBA=54°．
∴∠OAB＜∠AOB，
∴OA＜AB=

4

5

a＜a．
同理OB=OC=OD=OE＜a．
∴以O(shè)為圓心，半徑為a的圓完全蓋住正五邊形ABCDE．

（2）當(dāng)線(xiàn)圈做成平行四邊形時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．

其理由是：在如圖④中，
∵OB+OD＜AB+AD=2a，
∴OB=OD＜a．
同理OA=OC＜a，
∴平行四邊形ABCD能被以O(shè)為圓心，半徑為a的圓形紙片完全蓋�。�

（3）當(dāng)線(xiàn)圈做成任意形狀的圖形時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋�。�
其理由是：在如圖⑤中，取曲線(xiàn)上兩點(diǎn)A、B，使曲線(xiàn)分成相等的兩部分，連接AB，在其中一部分上任取一點(diǎn)C，連接AC、BC、C與AB的中點(diǎn)O，則有OC＜

1

2

（AC+BC）＜a．
∴當(dāng)線(xiàn)圈做成任意形狀的曲線(xiàn)時(shí)，都可以被半徑為a的圓形半徑紙片完全蓋住．

點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及邊角關(guān)系進(jìn)行證明．注意：三角形一邊上的中線(xiàn)小于其它兩邊的和的一半．