Question

在一次科學(xué)探究實驗中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進行折疊，并圍成圓錐形．
（1）取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口圓的直徑為6cm．當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為圓時，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明；
（2）假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁．問重疊部分每層的面積為多少？

Answer 1

【答案】分析：此題是圓錐側(cè)面積求解的典型問題，要靈活運用公式，并結(jié)合實際解題．
解答：解：解法一：
∵表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開圖為圓心角相同的兩扇形，
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側(cè)面緊貼漏斗內(nèi)壁，故只考慮該濾紙圓錐最外層的側(cè)面和漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面的關(guān)系．
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為圓，
則圍成的圓錐形的側(cè)面積=（1-2×）S_濾紙圓=S_濾紙圓．
∴它的側(cè)面展開圖是半圓，其圓心角為180度，
如將漏斗內(nèi)壁構(gòu)成的圓錐側(cè)面也抽象地展開，展開的扇形弧長為：πd=π×6=6π（cm），
該側(cè)面展開圖的圓心角為6π÷6×=180度．
由此可以看出兩圓錐的側(cè)面展開得到的扇形，它們的圓心角相等．
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內(nèi)壁．

解法二：
∵圓錐可以看作是等腰三角形圍繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何圖形，其正視圖和側(cè)視圖皆為全等的等腰三角形，
∴如濾紙片能緊貼漏斗內(nèi)壁，由其兩母線和開口圓的直徑構(gòu)成的等腰三角形必與漏斗兩母線和開口圓的直徑構(gòu)成的等腰三角形相似或頂角相同．
根據(jù)題意可得，濾紙圍成的圓錐形開口圓的圓周長應(yīng)為（1-2×）×2π×5=5π（cm），
由此可得其開口圓的直徑為5cm，
∵濾紙圓錐的兩母線長和開口圓的直徑都是5cm；漏斗兩母線長和開口圓的直徑都是6cm，
∴兩三角形皆為等邊三角形．
故兩等邊三角形相似且角相等，所以濾紙片能緊貼漏斗內(nèi)壁；

（2）如果抽象地將母線長為6cm，開口圓直徑為7.2cm的特殊規(guī)格的漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面展開，得到的扇形弧長為7.2πcm，
圓心角為7.2π÷6×=216度，
濾紙片如緊貼漏斗壁，其圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的圓心角也應(yīng)為216°，
又∵重疊部分每層面積為圓形濾紙片的面積減去圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的面積的差的一半，
∴濾紙重疊部分每層面積=（25π-×25π）÷2=5π（cm²）．
點評：將幾何圖形做適當(dāng)變形，找出隱藏條件是解一些復(fù)雜幾何問題常用的方法．