【題目】已知在四邊形ABCD中,∠A=x,∠C=y,(x180°,y180°).

1)∠ABC+ADC=_____(用含x、y的代數(shù)式表示);

2)如圖1,若x=y=90°,DE平分∠ADC,BF平分與∠ABC相鄰的外角,請(qǐng)寫(xiě)出DEBF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)如圖2,∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角,

①當(dāng)xy時(shí),若x+y=140°,∠DFB=30°試求x、y

②小明在作圖時(shí),發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在,請(qǐng)直接指出x、y滿(mǎn)足什么條件時(shí),∠DFB不存在.

【答案】1360°-x-y;(2DEBF,理由見(jiàn)解析;(3)①;②當(dāng)x、y滿(mǎn)足x=y時(shí),∠DFB不存在.

【解析】

1)利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可;(2)利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可;(3)①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,得出∠DFB=y-x=30°,進(jìn)而得出x,y的值;②當(dāng)x=y時(shí),∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行,此時(shí)∠DFB不存在.

1)∵四邊形內(nèi)角和為(4-2×180°=360°,

∴∠ABC+ADC=360°-x-y

故答案為:360°-x-y

(2)DEBF,理由如下:

如圖:延長(zhǎng)DEBFG

DE平分∠ADC,BF平分∠MBC,

∴∠CDE=ADC,∠CBF=CBM,

x=y=90°

∴∠CBM=180°-∠ABC=180°(180°-∠ADC)=ADC,

∴∠CDE=CBF

∵∠BED=CDE+C=CBF+BGE,

∴∠BGE=C=90°,

DGBF,即DEBF

(3)①如圖,連接DB,

∵∠A+ADC+C+ABC=360°,∠CDN=180°-ADC,∠CBM=180°-ABC

∴∠CDN+CBM=A+C=x+y,

BFDF分別平分∠CBM、∠CDN

∴∠CDF+CBF=(x+y),

∴∠FBD+FDB=180°-y+(x+y)=180°-y+x

∴∠DFB=180°-(FBD+FDB)=y-x=30°,

解方程組:,

解得:

x=40°,y=100°.

②當(dāng)x=y時(shí),此時(shí)∠DFB=0,即∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行,故當(dāng)x、y滿(mǎn)足x=y時(shí),∠DFB不存在.

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(2)【拓展研究】
在(1)的條件下,如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),連接BE,CE,AF,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;

(3)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)候,直接寫(xiě)出線段AF的長(zhǎng).

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A.
B.
C.
D.

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