Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形僅有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

連接，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，，；（3）12.

【解析】

（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y＝ax2＋1，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解；求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線DB的解析式，令x＝0求出y的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)四邊形僅有一組對(duì)邊平行，分①AP∥BE，求出直線AP的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；②AB∥PE，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱；③BP∥AE，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，根據(jù)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)可以求出∠APM＝60°，∠BPM＝30°，∠APN＝30°，然后求出PA是∠BPN的平分線，過點(diǎn)F作FH⊥PN于點(diǎn)H，連接DF、DH，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FH＝m，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)D、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，m＋n的值最小，此時(shí)，點(diǎn)F為直線AP與y軸的交點(diǎn)，m＋n＝PN，然后求解即可．

∵拋物線頂點(diǎn)為，

∴設(shè)拋物線的解析式是，

又∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

令，則，

解得，，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

∴直線的解析式為，

令，則，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

①時(shí)，設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

解得，（為點(diǎn)的坐標(biāo)），

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②時(shí)，∵拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)；

③時(shí)，∵直線的解析式為，

∴設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

∴直線的解析式為，

解，得，（為點(diǎn)坐標(biāo)），

所以，點(diǎn)坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

∵，，，

∴，

，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，

連接、，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，

即，

所以，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值，

此時(shí)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)、重合，

最小值．