Question

（2013•鶴壁二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，并且EF∥DC．
（1）若AD=3，CG=2，求CD；
（2）若CF=AD+BF，求證：EF=

1

2

CD．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC得到四邊形ABGD為矩形，利用矩形的性質(zhì)有AD=BG=3，AB=DG，而BH⊥DC，CH=DH，根據(jù)等腰三角形的判定得到△BDC為等腰三角形，即有BD=BG+GC=3+2=5，先在Rt△ABD中求出AB，然后在Rt△DGC中求出DC；
（2）由CF=AD+BF，AD=BG，經(jīng)過線段代換易得GC=2BF，再由EF∥DC得到∠BFE=∠GCD，根據(jù)三角形相似的判定易得Rt△BEF∽R(shí)t△GDC，利用相似比即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：連BD，如圖，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，
∴四邊形ABGD為矩形，
∴AD=BG=3，AB=DG，
又∵BH⊥DC，CH=DH，
∴△BDC為等腰三角形，
∴BD=BG+GC=3+2=5，
在Rt△ABD中，AB=

BD2-AD2

=

52-32

=4，
∴DG=4，
在Rt△DGC中，
∴DC=

DG2+GC2

=

42+22

=2

5

．

（2）證明：∵CF=AD+BF，
∴CF=BG+BF，
∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，
∵EF∥DC，
∴∠BFE=∠GCD，
∴Rt△BEF∽R(shí)t△GDC，
∴EF：DC=BF：GC=1：2，
∴EF=

1

2

DC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)：有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行，且有一個(gè)直角．也考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)．