如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),且AC平分∠PAE,過(guò)C作CD⊥PA,垂足為D.

(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若CD=2AD,⊙O的直徑為10,求線段AC的長(zhǎng).
(1)證明見(jiàn)解析;(2)6.

試題分析:(1)要證CD為⊙O的切線,只要證CD垂直于對(duì)切點(diǎn)的半徑,故作輔助線:連接OC,由三角形三個(gè)內(nèi)角和為180°的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì),即能證出∠DCO =90°,從而得證;
(2)要求AB的長(zhǎng),就要考慮它是三角形中的線段或與三角形中的線段有關(guān)系,根據(jù)垂徑定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代換即可求得.
試題解析:(1)如圖,連接OC,
∵點(diǎn)C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."
又∵點(diǎn)C在⊙O上,OC為⊙O的半徑,∴CD為⊙O的切線.
(2)如圖,過(guò)O作OF⊥AB,垂足為F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.
∴四邊形OCDF為矩形,∴OC=FD,OF=CD.
∵CD=2AD,設(shè)AD=x,則OF=CD=2x,
∵⊙O的直徑為10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x.
在Rt△AOF中,由勾股定理得.
,化簡(jiǎn)得:,解得(舍去).
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB,由垂徑定理知,F(xiàn)為AB的中點(diǎn),∴AB=2AF=6.
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