Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù) y＝ax2+bx 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) O（0，0）和 點(diǎn) B，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x＝3．點(diǎn) A 是拋物線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸，垂足為 C．S△AOB＝3S△ABC，AC2＝OCBC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與 x 軸交于點(diǎn) M．連接 AM，點(diǎn) N 是線段 OA 上的一點(diǎn)．當(dāng) ∠AMN＝∠AOM 時(shí)，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn) Q 是 y 軸上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)以 A，B，P，Q 四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn) P 坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝； （2）；（3）點(diǎn) P 為（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）時(shí)以 A，B，P，Q 四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn) 的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及對(duì)稱(chēng)軸可以確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后結(jié)合題目中給到的面積關(guān)系求出,從而確定,根據(jù)求出便可以確定點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)和點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組便可求解；

（2）利用可以證明，結(jié)合相似的性質(zhì)可以得到,而可以用勾股定理求出，可以用兩點(diǎn)間的距離公式求出，從而解出,由于在正比例函數(shù)上，所以可以求出直線的解析式，設(shè)出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出，最后解出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)已知邊進(jìn)行分類(lèi)討論，可能是平行四邊形的對(duì)角線，也可能是四邊形的邊，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)特點(diǎn)，即對(duì)角線交點(diǎn)即為對(duì)角線的中點(diǎn)，分別解出每種情況下點(diǎn)的坐標(biāo)；

（1） 函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，且與軸交于

,則

又

點(diǎn)的坐標(biāo)為：

將點(diǎn)，代入，解得：，

二次函數(shù)的解析式為：

（2） 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn),

又

又

設(shè)直線的解析式為，把代入得：

解得：

直線的解析式為

設(shè)，

解得：（不合題意，舍去）

當(dāng)時(shí)，

（3）設(shè)

①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，分為以下兩種情況：

i：四邊形為平行四邊形，和為對(duì)角線，

此時(shí)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

解得：

ii: 四邊形為平行四邊形，和為對(duì)角線

此時(shí)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

解得：

②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，也為對(duì)角線

此時(shí)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為7，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

解得：

綜上所述，當(dāng)以 A，B，P，Q 四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)可能是：（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）；