Question

【題目】如圖,矩形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),過O點(diǎn)的直線EF 與AB、CD的延長(zhǎng)線分別

交于E、F.

(1)證明:△BOE≌△DOF.

(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是菱形,為什么?

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF為菱形

【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；

（2）若四邊形EBFD是菱形，則對(duì)角線互相垂直，因而可添加條件：EF⊥AC，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，∠EOA=∠FOC=90°．∵AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴四邊形EBFD是菱形．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD（矩形的對(duì)角線互相平分），AE∥CF（矩形的對(duì)邊平行），∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）解：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC（矩形的對(duì)角線互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．