Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，CD是斜邊AB的中線，△ADC繞點D旋轉一定角度得到△A'DC'，A'D交AC于點E，DC'交BC于點F，連接EF，若，則=　　．

　

Answer 1

【考點】旋轉的性質；平行線的判定；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行線分線段成比例．

【專題】壓軸題．

【分析】根據等腰直角三角形的性質及旋轉的性質，運用“ASA”證明△ADE≌△CDF，得DE=DF．則有DE：DA′=DF：DC′，得EF∥A′C′．根據相似三角形性質求解．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，CD是斜邊AB的中線，

∴CD⊥AB，CD=AD，∠A=∠BCD=45°．

又∵∠ADE=90°﹣∠CDE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF （ASA）

∴DE=DF．

∵DA=DA′，DC=DC′，

∴DE：DA′=DF：DC′，

∴EF∥A′C′．

∴△DEF∽△DA′C′，

∴．

∵，則，

∴．

故答案為．

【點評】此題考查等腰三角形性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質及平行線的判定和性質等知識點，綜合性較強．