Question

已知：如圖，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．
（1）若△ABC中，∠B＜90゜，D為BC上的一點，點E在△ABC的外部，求證：AD=AB．
（2）若△ABC中，∠B＞90゜，D在CB的延長線上，點E在△ABC的下方，則（1）的結論是否仍然成立？
若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由，

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC=∠DAE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△ABC和△ADE全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）作出圖形，然后與（1）的證明思路相同進行證明．

解答：（1）證明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ∠B=∠ADE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AD=AB；

（2）證明：結論AD=AB成立．
證明如下：如圖，
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD-∠BAE=∠EAC-∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD+∠ADB=∠ABC，
∠ADB+∠EDC=∠ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ∠ABC=∠ADE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AD=AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖，找出角度之間的關系是解題的關鍵．