Question

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c若∠C＝90°，如圖(1)，根據勾股定理，則a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如圖(2)和圖(3)，請你類比勾股定理，試猜想a²＋b²與c²的關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：若△ABC為銳角三角形，有a2＋b2＞c2． 　　若△ABC為鈍角三角形，(且∠C為鈍角)，有a2＋b2＜c2． 　　(1)△ABC為銳角三角形，作AD⊥BC于D． 　　設CD＝x，BD＝a－x． 　　由勾股定理，b2－x2＝c2－(a－x)2， 　　即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2， 　　∴a2＋b2＝c2＋2ax＞x2即a2＋b2＞c2． 　　(2)△ABC為鈍角三角形，作BD⊥AC交AC延長線于D． 　　設CD＝x，則BD2＝a2－x2． 　　由勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2， 　　即a2＋b2＋2bx＝c2， 　　∴a2＋b2＜x2． 　　分析：通過作一邊上的高將三角形轉化為直角三角形，再利用勾股定理進而求得．